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新型冠状病毒疫情,牵动着全国人们的心。疫情暴发以来,很多机构都给出了疫情走向的预测结果,有些结果相对客观,有些结果则甚至惊动了国家卫健委的专家。
 
对于我们普通人来说,因为疫情的走势时刻在变化,而且有政府防疫工作的强力介入,因此过去的模型结果,随着时间的推移,往往会变得不可靠,因此了解预测模型背后的逻辑和参数,更重要。但是我们又无法要求专家们时刻更新他们的模型,因此就需要我们自己尝试搭建一些简单的模型,以便于更及时的跟踪疫情走势。
 
笔者在网上搜集了一些模型资料,不过大部分模型是用MATLAB写的,对于普通人来说,购买MATLAB的价格太贵。因此在本文中,笔者尝试用免费的R,写出几个经典的传染病模型的仿真代码,后续我们可以不断添加各种条件,来继续完善。
 
下文中的动力学模型,基本上都会用到微分方程,有些方程有解析解,有些方程没有解析解。我们不会算解析解也没有关系。我们只需要把微分方程形式、初始值和参数输入R,R就会帮我们做出数值解。
 
模型一:自由增长模型
 
模型假设
 
 
我们设置每个病人、每天传染的人数的常数rio,分别为0.3和0.25,设置初期只有1个病人,来看看模拟的传染人数。从下图可以看到,自由增长模型整体上呈现指数增长趋势,对参数rio非常敏感。这种模型比较适合,古代医疗条件不发达、不懂得对病人进行防疫隔离时,发生恶性瘟疫的情形。
 
模型二:SI模型
 
模型假设
 
在疾病传播期内所考察地区的总人数不变,不考虑生死和迁移;
 
人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的首字母,称之为SI模型);
 
每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日接触率;
 
当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人。
我们设置每个病人、每天接触的人数的常数rio,分别为0.3、0.25、0.2、0.15、0.12,设置初期感染率为百万分之一,0.000001,来看看模拟的感染者比例。
 
从下图可以看到,SI模型对参数rio非常敏感,而且只要我们把每个病人、每天接触的人数有效降低,传染病的传染速度就会变得非常慢,这就意味着,只要防疫力度够大,控制住传染病是完全可能的。这种模型比较适合,被传染后无法恢复健康的,比如HIV等情形。
 
模型三:SIS模型
 
SIS模型与SI模型的差异,在于SIS模型假设已感染者(Infective)可以被治愈,重新变成易感染者(Susceptible),比如季节性流感等。
 
模型假设
 
在疾病传播期内所考察地区的总人数不变,不考虑生死和迁移;
 
人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类,已感染者(Infective)可以被治愈,变成易感染者(Susceptible)(称之为SIS模型);
 
每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日接触率;
 
当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人;
 
每天被治愈的病人数,占病人总数的比例为常数μ,称为日治愈率;
 
那么,病人被全部治愈,所需要的天数为1/μ,这就是传染病的平均传染期。
SIS模型中有两个参数,分别是每个病人每天有效接触的平均人数rio,以及每天被治愈的病人比例mu,我们设置mu为0.1,每个病人、每天接触的人数的常数rio,分别为0.27、0.25、0.20、0.15、0.12,设置初期感染率为百万分之一,0.000001,来看看模拟的感染者比例。
从上图可以看到,对于SIS模型而言:
 
1、传染的速度,取决于病人的传染速度,与病人的治愈速度之间的相对水平,如果病人的治愈速度,大于病人的传染速度,那么该传染病最终会消失;
 
2、即便病人的传染速度高于治愈速度,最终也只有一部分人群会被感染;
 
3、最终感染的人群比例,为1-1/sigma,sigma = rio/mu,sigma是整个传染期内每个病人的有效接触人数,可以理解为病人在整个生病期内,接触的总人数。
 
模型四:SIR模型
 
SIR模型与SIS模型的差异,在于SIR模型假设已感染者(Infective)被治愈后会具备免疫力,不会被感染,从而成为移出者(Removed),SIR模型已经初步接近实际的传染病模型。
 
模型假设
 
在疾病传播期内所考察地区的总人数不变,不考虑生死和迁移;
 
人群分为易感染者(Susceptible)、已感染者(Infective)和移出者(Removed)三类;
 
每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日接触率;
 
当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人;
 
每天被治愈的病人数,占病人总数的比例为常数μ,称为日治愈率;
 
那么,病人被全部治愈,所需要的天数为1/μ,这就是传染病的平均传染期。
疫情刚开始的时候,于晓华教授曾经用SIR做了一个模拟,我们现在用于晓华教授的参数,把于教授的结果复制出来如下。从下图来看,还是比较契合的。
 
对本轮疫情走势的密切跟踪,是研判本轮疫情冲击,必不可少的工作。我们在本文中讨论了几个经典的传染病模型,并用R做了模拟。其中SIR模型已经开始接近现实模型,我们也复制出了于晓华教授的结果。
 
后续我们会进一步考虑潜伏期等问题,进一步完善模型,并尝试根据疫情的进展,不断调试我们的模型参数,来密切跟踪疫情进展。如果有感兴趣的读者朋友,也随时欢迎留言或者后台私信,进行合作讨论。
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万钊

万钊

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经济学博士

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